什么是向量自回归？

向量自回归（VAR）是一种统计方法，可捕获多个量随时间变化的关系。自回归是一种用于时间序列分析的统计技术，它假设时间序列的当前值是其过去值的函数。自回归模型使用类似的数学技术来确定序列中元素之间的概率相关性。

VAR 模型是自回归模型的一种特殊类别，允许您估计来自同一时间序列的多个（多变量）结果。例如，VAR 模型可用于预测通货膨胀和利率等经济指标的未来趋势。为此，它会分析一段时间内的其他市场指标，例如燃油价格和家庭平均收入。

向量自回归（VAR）是对多变量数据进行时间序列预测的一种方法。我们在下面给出更多使用案例。

预测

预测是通过研究历史数据和过去的模式而进行的预估。预测是 VAR 的主要使用案例。例如，在预测经济增长时，您可以使用 VAR 来评测汇率、通货膨胀、国内生产总值（GDP）和其他因素的相互依存关系。

脉冲响应分析

冲击或一个变量的突然变化会影响统计模型的结果。数学家使用向量自回归模型来分析系统冲击如何影响相关结果。例如，您可以使用 VAR 来评测收入突然下降对个人储蓄和支出的影响。

预测误差方差分解

冲击可能对统计模型的结果产生不同的影响。借助 FEVD，数学家可以按比例将影响归因于各自的变量。例如，较长的交货时间可能比机器效率低下对制造延迟的影响更大。

格兰杰因果关系检验

在设计多变量模型时，数学家使用向量自回归方法来确定一个变量是否会显著影响另一个变量。我们称之为格兰杰因果关系检验。例如，您可以使用 VAR 了解客户情绪是否是预测销售额增长的有用指标。

时间序列数据分为单变量和多变量。例如，单个家庭的总用电量是一段时间内的单变量时间序列。当多个单变量时间序列相互堆叠时，就称为多变量时间序列。例如，单个社区中 10 个不同（但相关的）家庭的总用电量构成了一个多变量时间序列数据集。

单变量自回归模型基于单个变量预测概率结果。例如，这些模型使用一个人过去的收入来预测未来几个月的储蓄。相比之下，向量自回归模型允许统计模型考虑多个相互依赖的变量。例如，您可以使用支出、工资、月份和其他指标来预测未来的收入。

变量关系

借助向量自回归，数据分析师可以对多个内生变量进行时间序列分析。内生变量是受多个因素影响的统计变量。向量自回归分析内生变量及其过去的值。

向量自回归模型中的变量共享双向关系，这与单变量时间序列模型不同。在 VAR 模型中，预测因子变量不仅影响预测结果，还可能受到建模结果的影响。例如，您可以使用 VAR 模型根据营销预算预测收入增长。同时，您还可以使用该模型来确定收入的增加是否会影响预算分配。

方程式

请看下面的数学方程式。

y_t = c₁ + φ₁y_t-1 + φ₂y_t-2 + φ_py_t-p + ε_t

此方程式将 VAR 模型表示为线性函数，其中：

• y 代表一组感兴趣的内生变量。

• c 是用作基线的常量值。

• φ 是影响 y 过去值的系数。

• e 是由误差值组成的协方差矩阵。

• p 是要计算的滞后数。

应用时，向量自回归模型会根据相关变量及其滞后值进行预测。该模型分析 p 值给出的历史时间段内的内生值，以预测因变量的可能值。一个双变量 VAR 将有两个线性方程式，每个方程式预测不同的变量。

向量自回归模型的多种变体源自多变量时间序列分析方法。

标准向量自回归建模

标准 VAR 是最简单的多变量时间序列分析统计模型。也称为简化形式的 VAR 模型，这些模型使用其他变量过去的值及其关键预测因子的值来预测其未来结果。使用标准 VAR 建模时，您可以创建多个方程式对所有变量的未来结果进行建模。考虑以下变量：

• 通货膨胀率。

• 失业率。

• 利率。

使用标准的 VAR 系统，您可以创建：

• 第一个方程式，通过分析所有三个变量来预测未来的通货膨胀率。

• 第二个方程式，通过分析所有三个变量来预测未来的失业率。

• 第三个方程式，根据所有变量预测利率波动。

假设所有变量都相关，所有三个方程式将共享一个共同的误差项 e。该误差项表示导致所有变量突然变化的常见冲击事件。

递归向量自回归建模

递归 VAR 的工作原理与简化形式的 VAR 类似，不同之处在于方程式没有共同的相关误差值。此外，递归 VAR 模型中的每个方程式在其预测中应用过去方程式的结果。例如：

• 该模型使用所有变量预测通货膨胀率。

• 该模型使用所有变量加上当前的通货膨胀率预测失业率。

• 该模型使用所有变量加上当前的通货膨胀率和失业率预测利率。

结构化向量自回归建模

借助结构化 VAR，分析师可以对多个时滞变量进行复杂的策略分析。除了分析滞后值外，分析师还可以设置假设并使用该模型来证明特定变量是否以一种或另一种方式相关。例如，您可以使用结构化 VAR 来确定国家政策的实施是否会对失业率产生积极影响。

贝叶斯向量自回归建模

贝叶斯 VAR 建模与标准 VAR 共享类似的线性方程式，不同之处在于它包含系数先验。系数先验是一种概率表达式，表示特定参数的分布范围。使用贝叶斯 VAR，在分析包含过多参数的小数据集时，可以提高预测准确性。

长记忆向量自回归建模

长记忆向量自回归（LMVAR）建模扩展了标准 VAR 模型的时间范围。适用于研究长期历史数据的影响。借助 LMVAR，数据分析师可以分析可以追溯到更久以前的多变量分量，并发现较短的时间间隔内不明显的相关性。例如，LMVAR 有助于分析跨越数十年的财务数据。

我们在下面分享 VAR 与其他自回归模型的比较。

VAR 与ARMA

自回归移动平均（ARMA）模型根据滞后值和过去结果产生的误差预测未来的结果。ARMA 有助于预测天气、股票价格和销售额等时间序列变量。与 ARMA 一样，VAR 是一种统计模型，用于比较滞后值和误差以做出预测。但是，ARMA 是一个单变量模型，而 VAR 可以分析模型中多个变量的影响。

VAR 与ARIMA

自回归积分移动平均（ARIMA）是 ARMA 的扩展，增加了积分分量。积分使 ARIMA 能够防止峰值、异常值或季节性趋势对其预测产生重大影响。例如，您可以使用 ARIMA 预测销售额，同时将季节性假期考虑在内。ARIMA 也是单变量。另一方面，VAR 更适合通过发现不同的销售因素如何相互影响来进行因果分析。

VAR 与ARIMAX

ARIMAX 与 ARIMA 类似，但该模型允许在预测未来结果时包含外生变量。外生变量是可能影响预测的因素，但不是时间序列变量的直接组成部分。相反，VAR 不使用外生变量进行计算，而是比较内生变量的多个滞后值。

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